La martingale géométrique

La martingale géométrique est la plus populaire de toutes, tant son principe est simple et, à première vue, infaillible, c’est LA martingale.

On commence par miser K francs ; si on perd, on double la mise, et on la double ainsi jusqu’à ce que l’on gagne. Lorsque cela arrive, on a perdu

K+2K+4K+ ... +2nKet on a gagné 2n+1K,

donc on a gagné Kfrancs. On recommence alors tout, avec une mise de K francs.

Exemple : vous misez 1 franc, vous perdez ; vous misez alors 2 francs, vous perdez ; vous misez alors 4 francs, vous gagnez. Au total, vous avez gagné 4 francs et perdu 3 francs, ce qui donne un bilan positif de 1 franc.

Si l’on pouvait ainsi toujours doubler, on gagnerait K francs à chaque série et, petit à petit, on accumulerait tout l’argent que l’on veut. Cherchez l’erreur.

Elle est double. D’abord, quand on n’a plus rien, on ne peut plus miser ; or il arrive qu’il y ait de longues séquences de tirages identiques (le record dans une salle de casino est une série de 42 fois le rouge).

Ensuite, les mises autorisées sont limitées (à 1 000 fois la mise la plus faible pour une table donnée dans les casinos français) et donc, même si vous êtes très riche, vous ne pourrez pas appliquer la martingale géométrique plus de 10 étapes.

Rendons-la praticable en précisant nos choix en cas de blocage. On double la mise précédente si on a perdu, tant que rien ne s’y oppose, mais si on peut atteindre l’objectif de B francs en misant moins que ce que la règle indique, on le fait, et si on n’a pas assez pour miser conformément à la règle, on met le maximum dont on dispose.

K est la mise initiale. Pour chaque résultat, 50 000 essais ont été faits. Là encore, les résultats sont donnés sur la figure 2. Si p est égal à 1/2, rien ne permet de dévier de A/B ; on vérifie, à nouveau, que la roulette américaine est bien plus productive que la roulette française (pour la banque, bien sûr !).

On découvre que la stratégie géométrique est meilleure que les deux autres méthodes de jeu envisagées auparavant, et qu’elle est meilleure pour K égal à 10 francs que pour K égal à 5 francs ou K égal à 1 franc.

Il semble que non seulement l’argent va aux riches, mais aussi qu’il va (ou reste, mieux !) à ceux qui misent plus gros ! Les stratégies les plus violentes sont les meilleures. Plus grosse est la valeur de K, mieux c’est, et plus violente est la stratégie, mieux c’est (la géométrique est plus violente que la d’Alembert, elle-même plus violente que les mises constantes). Cette règle est-elle générale ? Si oui, comment la formuler précisément ?

Le fait que, pour psupérieur à 1/2, nous trouvions que la martingale de d’Alembert avec K égal à 1 est très légèrement meilleure pour doubler son capital que la géométrique avec Kégal à1 (seule exception numérique à la supériorité générale de la géométrique) ne contredit pas notre remarque générale, car, dans la d’Alembert avec K égal à 1, la baisse des mises se fait plus lentement que dans la géométrique (aussi avec Kégal à 1) et conduit donc, en moyenne, à un comportement plus violent. La violence du comportement semble en toute généralité le bon comportement à ce jeu.