Martingales et autres illusions

Voici un article tiré du journal La Science, 1998, qui explique scientifiquement l’inutilité des martingales.

Au casino, on peut gagner presque certainement... en risquant beaucoup !

Un de mes amis, passionné de jeux de casino, prétendait qu’il est possible de gagner à la roulette. Je lui ai dit qu’il avait tort parce qu’il est mathématiquement démontré qu’on ne pouvait gagner. Quelle ne fut pas ma surprise lorsqu’il m’a rétorqué : « Celui qui joue jusqu’à ne plus rien avoir va tout perdre. Il y a donc une façon (au moins) de mal jouer au casino.

Mais alors, il y a certainement aussi une façon de bien jouer. » Je suis resté interloqué et je n’ai pas su lui répondre sur le coup. J’ai l’esprit de l’escalier, aussi je lui réponds ici.

RÈGLES ET PROBABILITÉS

Dans n’importe quel jeu, à chaque fois que l’on mise, il existe une probabilité p de gagner et une probabilité q de perdre sa mise. Il est certain que, soit on gagne, soit on perd ! Aussi la somme p + q est-elle égale à 1, et q est égal à 1 – p. Supposons que, comme à pile ou face, celui qui gagne récupère sa mise plus une somme égale à sa mise ; quand on perd, on laisse sa mise à l’autre joueur, que nous dénommerons la banque. Dans les casinos, des jeux de ce type, tels le rouge et le noir à la roulette, donnent aux parieurs une chance de gagner inférieure à 1/2. Le jeu n’est alors pas équitable, et l’on soupçonne que c’est pourquoi les casinos sont des entreprises rentables. Nous verrons dans ce qui suit que la rentabilité des casinos sur le long terme est garantie par les mathématiques.

Quelle est la probabilité p des jeux qu’on vous propose ? Si vous trouvez un ami qui accepte de faire la banque et que vous jouez à pile ou face avec une pièce non truquée, votre probabilité p de gain est égale à 1/2. C’est la même probabilité que si vous jouiez sur une couleur à une roulette équitable. À la roulette simple (dont l’invention est attribuée à Pascal et qui a été introduite à Paris en 1765), si vous jouez sur noir, vous gagnez quand l’un des 18 numéros noirs sort ; vous perdez quand l’un des 18 numéros rouges sort et quand le zéro (qui est vert) sort.

Ainsi la probabilité de gain p est égale à 18/37, soit 0,4864..., car il y a 37 numéros de 0 à 36. À la roulette française, la règle est un peu plus compliquée, car quand le zéro sort votre mise reste prisonnière jusqu’à ce qu’un prochain lancement de la bille vous la fasse perdre ou récupérer (sans gain), et votre probabilité de gain p est égale à 36/73, soit 0,4931... (voir l’explication de ce 36/73 dans l’encadré 1). À la roulette américaine, il y a un zéro et un double zéro verts, tous les deux favorables à la banque, sans système de mises prisonnières. Votre probabilité de gain p est de 18/38, soit 0,4736... Il existe aussi une roulette mexicaine, avec un triple zéro, correspondant à un p = 18/39 = 0,4615, mais c’est pour les gringos.

Pour calculer le gain de la banque, imaginons que 100 francs sont misés sur le noir et comptabilisons ce que, en moyenne, la banque perd (c’est-à-dire paie) et gagne. Dans une proportion de p cas, elle perd 100 francs ; dans une proportion de 1 – p cas, elle gagne 100 francs. Aussi la banque gagne en moyenne : 100 (1 – p) – 100 p francs, soit 100 (1 – 2p) francs, que l’on appelle parfois l’espérance mathématique de gain de la banque pour 100 francs misés. Dès que p est inférieur à 1/2, alors 1 – 2p est positif, et donc la banque gagne en moyenne.

Ce gain moyen de la banque pour 100 francs misés est de 0 franc à pile ou face (ce jeu n’est pas proposé dans les casinos !) ; de 1,36 franc à la roulette française (avec système des mises prisonnières) ; de 2,70 francs pour la roulette simple, de 5,26 francs pour la roulette américaine ; de 7,69 francs pour la mexicaine.

Est-il possible, par un comportement rusé, de contourner ce gain théorique moyen de la banque et de le retourner en sa faveur ? La question est historique : l’idée d’étudier par la théorie des probabilités les meilleures façons de jouer n’est pas récente. Pascal, d’Alembert, Moivre, Lagrange, Laplace et bien d’autres mathématiciens, parmi les plus éminents, s’y sont intéressés. Si de nombreux résultats ont été obtenus très tôt, même en ce siècle, des principes nouveaux permettent de mieux comprendre les stratégies de jeu à la roulette. Pour comparer les différentes méthodes de jeu, dénommées martingales, nous nous plaçons dans la peau d’un joueur qui, au départ, a un capital de A francs et qui veut partir du casino dès qu’il a B francs. Comment doit-il s’y prendre en jouant sur le noir et le rouge ?

LA STRATÉGIE DES MISES CONSTANTES : La stratégie des mises constantes consiste à jouer K francs à la fois jusqu’à, soit avoir perdu son capital de A francs, soit avoir atteint l’objectif des B francs. Cette martingale est élémentaire, pourtant nombre de gens l’utilisent.

LA MARTINGALE DE D’ALEMBERT : la Martingale de d’Alembert (ou montante de d’Alembert) consiste à chaque fois que vous gagnezà diminuer la mise de K francs (parce que vous pensez que la chance vient de vous être favorable, et qu’elle risque de l’être moins le coup suivant), et à chaque fois que vous perdez de l’augmenter de K francs (la chance devrait maintenant mieux vous servir, croyez-vous). En savoir plus sur la martingale de D’Alembert.

LA MARTINGALE GÉOMÉTRIQUE : La martingale géométrique est la plus populaire de toutes, tant son principe est simple et, à première vue, infaillible. C’est La martingale. On commence par miser K francs ; si on perd, on double la mise, et on la double ainsi jusqu’à ce que l’on gagne.

LE THÉORÈME DU JEU HARDI : Le précepte est moral, il faut passer le moins de temps possible devant le tapis vert.

INEXISTENCE DE MARTINGALE

Le résultat de Dubins et Savage est décevant, car il indique que vous devez jouer le plus vite possible. Si ce qui vous amuse est le jeu, la conclusion obtenue est la pire de toutes celles qu’on pouvait découvrir.

Cela est en fait lié à la loi de la perte constante : Quand on joue à un jeu avec une probabilité p inférieure à 1/2 de gagner (pour le joueur), alors, quelle que soit la stratégie utilisée, on perd « en moyenne » proportionnellement à ce qu’on mise.

Tout cela est tristement simple : les pertes moyennes ne dépendent que des sommes posées sur la table et sont déterminées par le coefficient p du jeu.

La façon de jouer est sans importance, martingale géométrique ou Jeu hardi ou stratégie optimale, tout est équivalent.

Une conséquence de la loi de la perte constante est aussi qu’aucune martingale ne retourne jamais les probabilités de gains en votre faveur. Autrement dit, il n’existe pas de martingale. En particulier :
- aucun avantage ne peut être obtenu en ne jouant que sur certains tirages ;
- aucun avantage ne peut être obtenu par celui qui décide de la fin de la partie (le droit de faire charlemagne ne sert à rien) ;
- même si l’on veut diminuer son espérance par franc misé, on ne le peut pas. Finalement, plus vous jouez, plus vous perdez, inéluctablement.

Pour perdre le moins, vous devez jouer le moins possible. Pour ne pas perdre du tout, vous ne devez pas jouer du tout.

Il est difficile de se persuader complètement que prendre en compte le passé est inutile, et que ce n’est pas parce que le rouge est sorti 10 fois de suite que le noir a plus de chances au coup suivant.

Cependant il faut s’y résoudre : les jeux de casino sont idiots, et ce sont bien des entreprises commerciales dont la rentabilité est assurée sur le long terme par des lois mathématiques démontrées et testables.

Au total, mon ami qui prétendait pouvoir gagner à la roulette a tort : plus on joue plus on perd, rien n’y fait. Dans son raisonnement de départ, il y avait une erreur : si l’on vous donne un total de sommes à miser, il n’existe ni de bonnes façons de le jouer, ni de mauvaises.

Ramené au total de l’argent que vous posez sur la table, vous ne pouvez ni bien jouer, ni mal jouer.

Toutefois, comme Paul Deheuvels le fait remarquer, les règles du jeu de la roulette autorisent d’autres mises que les mises simples, par exemple les numéros pleins, qui conduisent à gagner un multiple de sa mise ou à la perdre (avec une probabilité de gain plus faible qui maintient une espérance de gain positive pour le casino). Il n’est pas impossible qu’en utilisant pleinement les mises autorisées d’autres méthodes permettent par exemple d’améliorer un peu le 0,90426... trouvé pour passer de 10 à 11 à la roulette française.

Hélas, il n’y a pas grand-chose à grignoter, car pour passer de 10 à 11, à un jeu défavorable, le produit de la probabilité de réussite r par votre gain souhaité (1 franc) sera toujours inférieur à votre probabilité de perdre vos 10 francs, multipliée par cette perte. Donc : 1r < (1 – r)10, qui implique que r < 10/11 = 0,90909... (ce 10/11 que l’on obtient en faisant n’importe quoi lorsque p est égal à 1/2 est une barrière inaccessible lorsque p est inférieur à 1/2).

GAGNER AUTREMENT ?

Nous avons jusqu’ici supposé que le jeu était équitable, dans le sens que la roulette était bien équilibrée : chaque numéro a une chance sur 37 de sortir (une sur 38 à la roulette américaine). Il se peut que cela ne soit pas le cas parce que la roulette est truquée ou usée (la durée de vie d’une roulette utilisée tous les soirs est d’environ dix ans).

Vient alors l’idée de miser sur ce qui tombe le plus souvent, de façon à profiter de l’inégalité des chances entre numéros. L’idée générale d’exploiter l’imperfection des roulettes n’est pas absurde et elle fut effectivement utilisée par William Jaggers à la fin du XIXe siècle.

Il gagna ainsi 1 500 000 francs à Monte- Carlo, à la suite d’une analyse fine des fréquences de sortie des numéros.

Depuis, les casinos ont compris que leur intérêt est que les roulettes soient bien équilibrées et ils y veillent soigneusement : l’intérêt d’un casino à la roulette est qu’il n’y ait aucun biais !

Plus récemment, en 1978 et 1979, Norman Packard et Doyne Farmer, par une technique de mesure de la vitesse de la boule et du cylindre portant les numéros réussirent à prévoir la zone où devait arriver la bille avec une précision suffisante pour renverser l’avantage du casino en leur faveur. Cela leur permit de gagner plusieurs milliers de dollars. Les mesures et les calculs étaient faits à l’aide d’appareillages qu’ils portaient sur eux, cachés dans leurs vêtements. Ayant observé une roulette attentivement, je dois avouer que je doute de la véracité de cette histoire.

Un autre jeu de casino doit être mentionné, le black jack. Contrairement à la roulette, il n’est pas toujours défavorable aux joueurs. À la suite d’études menées à l’aide d’ordinateurs depuis 1956 plusieurs mathématiciens ont mis au point des techniques de jeu (nécessitant le plus souvent de mémoriser les cartes qui passent) qui, quand elles sont appliquées rigoureusement (ce qui demande de longues semaines d’entraînement), renversent les chances en faveur du joueur.

Certains joueurs tentèrent de s’aider d’ordinateurs cachés sur eux pour appliquer ces méthodes plus facilement. Les casinos ont appris à repérer et à dissuader les joueurs trop concentrés (parce qu’ils mémorisent les cartes jouées) qui tentent d’appliquer ces méthodes et qu’on appelle des « compteurs de cartes ». Les joueurs se font aussi repérer par les variations brusques des mises qu’ils font et qui sont caractéristiques (il paraît qu’en France les casinos n’empêchent pas les « compteurs de cartes » de jouer ; je n’ai pas vérifié !). De plus, les casinos se sont mis à utiliser des quadruples jeux de cartes pour rendre ces méthodes inopérantes.

Pour faire fortune, il n’y a décidément rien à attendre des jeux de casino.

Jean-Paul DELAHAYE est professeur d’informatique à l’Université de Lille.

Références :

T. BASS, The Newtonian Casino, Éditions Longman, 1990.
Y. COURCHESNE, Les secrets du black jack, Les Éditions de l’Homme, Montréal, 1993.
P. DEHEUVELS, La probabilité, le hasard et la certitude, PUF, 1990.
R. EPSTEIN, The Theory of Gambling and Statistical Logic, Academic Press, San Diego, 1970, 1995.
A. NEURISSE, Les jeux d’argent et de hasard, Éditions Hermé, 1991.
M. ORKIN, Can you win ? W. H. Freeman and Company, New York, 1991.
P. TOUGNE, La mathématique des jeux, chapitre 18 : « Roulette, loto et probabilités », Éditions Pour la Science/Belin, pp. 147-146, 1990.

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