La stratégie des mises constantes

La stratégie des mises constantes consiste à jouer K francs à la fois jusqu’à, soit avoir perdu son capital de A francs, soit avoir atteint l’objectif des B francs. Cette martingale est élémentaire, pourtant nombre de gens l’utilisent.

La stratégie des mises constantes consiste à jouer K francs à la fois jusqu’à, soit avoir perdu son capital de A francs, soit avoir atteint l’objectif des B francs. Cette martingale est élémentaire, pourtant nombre de gens l’utilisent.

Comment fixer la valeur de K ? Fautil jouer 1 franc à chaque fois, ou 5 francs, ou 10 francs ? Pour répondre à cette question, deux techniques sont envisageables : la simulation informatique et l’étude mathématique (nous avons exclu l’essai dans un casino, car nous ne sommes ni assez riches... ni assez patients).

C’est seulement depuis que nous disposons de machines puissantes et faciles à programmer que nous pouvons mener les simulations qui de facto étaient interdites aux mathématiciens avant 1945, date de la mise au point des premiers calculateurs électroniques. Comme de nombreux problèmes complexes ne pouvaient être résolus par le raisonnement, les calculateurs électroniques furent, dès leur conception, utilisés pour calculer la probabilité de succès de certaines patiences.

Dans ces simulations, où sont incluses les règles de la patience, le programme tire aléatoirement des configurations de départ et dénombre ensuite succès et échecs, donc la probabilité de gain.

Examinons trois objectifs concrets : (a) passer de A= 10 francs à B=100 francs (décupler son capital initial) (b) passer de A= 10 francs à B= 20 francs (doubler son capital) (c) passer de A= 10 francs à B= 11 francs (augmenter son capital de 10 pour cent) Les mises jouées à chaque fois seront soit 1 franc, soit 5 francs, soit 10 francs.

Les résultats des simulations informatiques sont indiqués dans le tableau de l’encadré 2 pour le jeu de pile ou face (ou une roulette honnête), la roulette française et la roulette américaine. Chaque évaluation représente 50 000 essais (ce qui, à raison d’un essai toutes les cinq minutes, 12 heures par jour, correspond à plus d’un an de jeu en salle pour chaque case des tableaux).

Ici les simulations ne sont pas indispensables, car ce problème a une solution mathématique, découverte dans un cas particulier par Huygens en 1657, généralisée par Bernoulli en 1680, puis précisée par Moivre en 1711.

Lorsque p est égal à 1/2 et la mise égale à K, la probabilité de réussir est A/ B ; lorsque p est inférieur à 1/2, elle est de [1 – (q/p)A/K]/ [1 – (q/p)B/K]

Ainsi, plus p est petit, moins vous réussirez ; ce n’est pas une surprise !

Plus B/A est grand (plus vous êtes gourmand), moins vous avez de chances de réussir ; ce n’est pas étonnant non plus.

Toutefois, lorsque pest fixé, vous maximisez vos chances de réussite en prenant K le plus grand possible. Ce résultat n’est pas évident ! Pour décupler votre fortune et passer de 10 à 100 francs en utilisant la stratégie des mises constantes, il vaut mieux miser 10 francs à chaque tirage que 5 francs, et il est plus avantageux de miser 5 francs que 1 franc.

Si l’on compare les résultats théoriques donnés par la formule de Huygens-Bernoulli- Moivre avec ceux de nos simulations réalisées en faisant 50 000 essais, on remarque que seuls deux chiffres donnés par l’expérimentation sont fiables.

LOI DE LA RUINE CERTAINE

Lorsque deux joueurs s’affrontent jusqu’à ce que l’un d’eux soit ruiné, l’un des deux joueurs finit nécessairement par perdre (même si p est égal à 1/2 et qu’ils disposent tous deux de la même somme initiale). C’est ce qu’on appelle la loi de la ruine certaine. Si les fortunes sont inégales, la formule de Huygens-Bernoulli- Moivre montre que celui qui a la plus grande fortune gagnera plus souvent (« l’argent va à l’argent »), en particulier dans le cas p égal à 1/2, la probabilité que le joueur 1 gagne est égale à : Fortune du joueur 1 / (Fortune du joueur 1+ Fortune du joueur 2)

Si vous affrontez un joueur deux fois plus riche, il a 2 fois plus de chances de gagner que vous ; s’il est cent fois plus riche il gagnera 100 fois sur 101 ; si vous affrontez un joueur infiniment riche, vous êtes certain de tout perdre, même lorsque le jeu est équitable. La durée moyenne d’une partie où votre fortune de départ est N francs contre un joueur infiniment riche (le casino), c’est-à-dire le nombre de mises de 1 franc que vous jouez avant d’avoir tout perdu est égale à N/ (p-q) ; à la roulette française, si vous jouez par 10 francs, il faudra en moyenne 730 coups pour que vous soyez ruiné.

Lorsqu’un jeu est en votre faveur, p supérieur à 1/2, même si vous affrontez un joueur infiniment riche avec une somme de départ finie, vous deviendrez infiniment riche dans une bonne proportion de cas.

Les tableaux et les résultats mathématiques montrent qu’avec p inférieur à 1/2 les chances de réussir à doubler son capital sont inférieures à 1/2. La stratégie des mises constantes n’est pas assez astucieuse pour renverser l’avantage initial du casino, il faut essayer autre chose.