Théorème jeu hardi

Ce résultat général que tout le monde devrait connaître sera dénommé le théorème du Jeu hardi ou loi de Dubins et Savage (ils furent les premiers à l’établir, en 1956). Le précepte est moral, il faut passer le moins de temps possible devant le tapis vert.

La meilleure façon de jouer dans un jeu à deux options de probabilités p et 1 – p avec p inférieur à 1/2, pour passer de A à B, consiste à miser toujours ce qui permet d’approcher le plus le but visé.

Toutes les méthodes de jeu, comme nous l’avions constaté par expérimentation, ne sont pas équivalentes. Mon ami avait raison sur un point : pour atteindre un but donné, il y a des stratégies meilleures que d’autres (ce qui ne veut pas dire qu’on peut gagner contre le casino).

Le théorème du Jeu hardi nous conduit à de meilleures stratégies que celles envisagées jusqu’à présent pour décupler, ou augmenter de 10 pour cent, notre capital.

Si votre objectif est de décupler votre pécule (passer de A à 10A), vous devez miser A la première fois (c’est le plus que vous pouvez faire) ; si vous avez gagné, misez 2A, puis, si vous avez gagné, misez 4A ; puis finalement misez 3A (car cela vous suffit pour atteindre 10A). Si vous perdez au dernier coup, vous vous trouvez avec 7A, il vous manque 4A, vous misez donc 4A. Etc.

Cette stratégie ressemble à la martingale géométrique dans le cas où l’on prend K égal à A, mais elle ne lui est pas complètement équivalente, car lorsque vous venez de perdre, plutôt que de repartir de K (martingale géométrique), ici vous jouez ce qui est nécessaire pour atteindre l’objectif en un coup, si c’est possible.

Dans le cas de l’objectif du doublement du capital de 10 francs à 20 francs, la stratégie des mises constantes avec K égal à 10 francs et la martingale géométrique avec K égal à 10 francs sont identiques à la stratégie du Jeu hardi, qui se réduit alors à miser une fois 10 francs (la probabilité d’aboutir est évidemment p). Les résultats expérimentaux obtenus en faisant 200 000 essais pour chaque cas (l’expérimentation étant plus rapide, on a augmenté le nombre d’essais pour avoir une meilleure précision) sont indiqués dans le tableau de l’encadré 2.

Notons que, si vous êtes prêts à risquer 10 francs pour gagner 1 franc (ou 10 000 francs pour gagner 1 000 francs), en appliquant la règle de jeu donnée par le schéma, vous réussirez en France avec une probabilité 0,9042656... (voir ci-dessous la stratégie optimale pour gagner 10%), ce qui est assez raisonnable. Ne nous réjouissons pas trop : si vous appliquez cette méthode de jeu tous les soirs régulièrement, les soirs où vous gagnez (plus de 90 pour cent des cas) ne compensent pas, à long terme, ceux où vous perdez, car quand vous perdez, vous perdez dix fois plus que quand vous ne gagnez.

Stratégie optimale pour gagner 10%

En suivant les divers chemins de gain, on voit que la probabilité de passer d’une somme à 1,1 fois cette somme est :

probabilité de G (p) + probabilité de P puis G (qp) + probabilité de P puis P puis G (q2p) + probabilité de P puis P puis P puis G puis G (q3p2) + probabilité de P puis P puis P puis G puis P puis G puis G puis G puis G(q4p5)+ probabilité de P puis P puis P puis G puis P puis G puis G puis G puis P puis G (q5p5) puis boucler en revenant à 1, après simplification.

r=(p + qp + q2p + q3p2 + q4p5) / (1 – q5p5)

Avec la stratégie du Jeu hardi à la roulette française (p = 36/73), si vous êtes prêt à risquer 1 000 F pour en gagner 100, vous réussirez dans 90,426 pour cent des cas.